demonstrate 的 blog

光学：镜头与光圈

几何光学一般认为光的波长 ，这样就不会发生衍射（diffraction）现象，这样光行进的路线总是直线。但是事实上光也是波，通过孔径与波长相当的空间时就会发生衍射。

另外一个有用的物理现象是折射（refraction），物理里面有个叫斯涅耳定律（Snell’s law）可以定量的描述光通过两个折射率不同的介质时发生偏转的程度。

要理解 Snell’s law 可以用 wavefront 来进行分析，在进入另外个介质后光的波长从 变成 ，这束光如果保持波前不变（假定和介质表面相交宽度为 ），那么两侧为了保证同步，左侧在介质 2 中多走了 ，而右侧在介质 1 中多走了 花费的时间应该是一致的，这也就是说 ，也就得到了以上定律。

理解了 refractive indices 之后，我们可以用其解释某些现象。比如海市蜃楼：低空空气受热变得更加稀薄，使得折射率下降，相对来说高空的折射率会较大。人本来只能看到所处高度对地球做的切线以内的东西，但是更远处的物体发出的光（本来应该偏离地面）被这种密度不均匀的空气折射（甚至是全反射）沿着地球表面绕过了地平线进入观测者的眼睛，形成了一种奇妙的光学景观。

有了这个知识，我们可以推导什么样的曲面能够让平行光线汇聚，答案很简单双曲线，但是为什么？mm 的解释如下：假定平行光线从 出发向正无穷方向行径（处于透镜介质里面），碰到我们的镜面曲线 后折向 这点，这里一个 trick 也是使用 wavefront 理论，每束光到达焦点的光程一样，这意味着 为常数，这样我们将 项移动后两边平方就得到了 这种形式的双曲线，其中 latex n$ 是透镜介质对空气的折射率。

实际镜头的制造却发现双曲面非常难以研磨，通常会以球面镜进行替代。高端的镜头（特别是广角）一般都含有非球面镜，这主要是因为球面镜并不能完全聚焦光线，存在所谓的“球差”（spherical aberration），某些情况下合理利用球差能够带来柔焦的效果，但是一般情况下球差都会使得成像质量下降，且不是需要保留的。球面镜这种近轴近似（paraxial approximation）是一种一阶近似。

近似主要利用了 当 恶情况，这时 Snell’s law 写成 ，利用三角形外角与内角的关系就得到了以上关系。

这里我们令 ，使得光线变成平行光线，这样就得到了这个透镜的“焦距” ，这里我们光线通过球面后一直在透镜内传播。我们往往制作透镜的时候在另一侧会研磨另外一个球面，这样我们可以类似的得到如下关系：

这里的 是物距，而 是像距。不知道是不是两边都用近似，然后加上 thin lens approximation 就能得到了？

这样我们就有 ，看来前片越凸起来，焦距越短，这也就解释了那种畸形的镜头是怎么回事了，呵呵。至此我们获得了初高中物理所讲薄透镜成像的公式。对拍照来说，一般情况下都是像距远小于物距，特别的，当拍 1:1 微距的时候要求两者为焦距的两倍。

常见把凹透镜的焦距即为负数，这样获得的是虚像。我们常将焦距（单位是长度）的倒数称为屈光度（diopter，单位是 ），这样一来我们常用的近视（myopia）眼镜的屈光度都是负值，而远视（hyperopia）使用的老花眼镜是正的。镜头叠加获得的效果是 ，或者使用屈光度来写就是 。

我们可以这样理解常用的近摄滤镜（一般是一个凸透镜），增加了屈光度之后得到的镜头的等效焦距变短，这样最近对焦距离就会进一步变小。值得注意的是一般销售近摄滤镜一般只写 +n，其中常见的是 1、2、4，我们可以很容易计算对应的焦距。这个并不是放大倍数。

讨论景深（DoF，depth of field）之前我们有比较重新看一下 F number，这是焦距与通光孔径的比值，尽管看起来只要我们能将孔径不断的做大就能获得更小的 F number，但事实上由于 paraxial approximation 的影响，一般最多做到 0.5，这是折射率决定的。而现在我们能够买到的最大是 0.95。电影拍摄中为了得到较好的自然光效果（如 Kubrick 在 1975 年所拍摄的 Barry Lyndon），会花大量金钱购买大光圈镜头（如 Zeiss 50mm/0.7）。

这个推导跟原先我的推导似乎有一定的差别。似乎我原来理解的有点问题，这里就是把弥散圆（confusion circle）放在焦平面上，通过边缘光线获得的前后两个交点的距离在物体侧的深度。为什么这样做？因为可以取这个区域中任意一点，如果在焦平面上成像就是一点，而如果不在焦平面上，我们通过边缘光线就能获得成像光斑的大小，这个区域内的光斑尺寸不会大于 confusion circle，因此人还是认为成像清晰。

我们可以看出来前景深和后景深是不对称的（即一般说来 ），Nikon 有两个镜头 105mm/2 DC 和 135mm/2 DC （二手还卖这么贵 ~><~）可以通过 DC 环调节前后景深的比例，不知道是怎么做到的，求真相！

一般说来 confusion circle 对 135 相机是 0.02mm，据此我们可以计算全景深 ，当弥散圆的共轭相对光圈较小的时候（非微距拍摄情况），我们也有近似 ，这说明景深（DoF）基本上正比于 F number，摄距的平方，反比于焦距的平方。

有点需要注意的是微距镜头比其他镜头更需要矫正近摄距情况下的 aberration，使用 extension tube（近摄接环）尽管能够为一般的镜头提供微距拍摄效果，但是这些镜头由于在更近的拍摄下 aberration 较高，仍然是比不过专业的微距镜头的成像的。一般说来近摄接环和焦距较短的镜头配合较好，而近摄滤镜往往与焦距较长的镜头配合。

根据后景深的公式，我们知道如果 时就会趋于无穷，这就是所谓的超焦距，特别是广角镜头，由于焦距小，这会导致这个下界并不大（几米？），这样拍很多照片时，我们只要保证拍摄物体足够远，开到某个 F number 后，可以不需要对焦就能拍了。比如 Sigma 24mm/1.8 在最大光圈下这个距离是 16m，但是如果将其收缩到 8，那只要 3.6m 开外的都可以直接按快门了。又比如说 Sigma 10-20mm/4-5.6，如果我们用最广的 10mm，就算全开光圈，只要 1.25m 开外的都会清晰。啊… 我是不是应该为我手头镜头都算算… hmm 可能这个 confusion circle 对 APS-C 画幅还不大一样，Mark 同志给的是全幅的值吧？

事实上，DoF 与感光元件尺寸是反比关系的，这是因为缩小感光元件后，为了维持相同的视角，焦距就会随着线性的减少，而另一方面 confusion circle 也是线性减少，消掉之后剩下焦距带来的反比关系。

最后我们讨论一下 Dolly zoom 的手法：首先我们为了维持物体大小不变，其实是在摄距变化时保证视角，这个我们需要在摄距变化时，通过焦距的增大来弥补，经过分析可以发现两者是线性关系。不过根据景深公式比较奇特的一点是，景深在做 dolly zome 时是不变的。嗯，大光圈还能让我们绕开遮挡物！

从逻辑上来说就是障碍物仅仅遮住了部分的光线。

—————-
Haste you, escape thither; for I cannot do anything till you be come thither. Therefore the name of the city was called Zoar.

嗯，最近一些 paper 上面的关于 CTR 的 model，稍微介绍下。

类似 LDS 的一个 model

假定观测到的 click 和 view 对应的 CTR 是 ，我们对其进行变换，，我们有如下的 Bayesian belief nets，

dynamic Linear Growth model

这个 model 与 HMM 有一些类似，观测 ，其中 是 time-of-day 的 bias，是预先给定的常数，然后 是 0 均值方差为 的噪声，其中 ，而 ，其中 是 0 均值方差为 的噪声。

这个模型为什么能反应 growth，我们不妨考虑令 ，如果没有噪声 的存在，则 是分布在 附近的一个正态分布，这可一看成是一个有下降趋势的 CTR 估计。我们增加了噪声后，增长率就不再是一成不变了。似乎对应 和 的方差参数应该是 shared（去掉下标 t）。这时给定一组数据时，我们应该有办法使用 EM 算法进行对参数的估计，比较感兴趣的应该是给定参数后对 的预测，按照现在这种形式就是利用 的 mean 和 的 mean 的和进行估计了。

dynamic Poisson-Gamma model

这个可以认为就是 Poisson-Gamma model 的简单推广（与此类似可以用所谓的 Bernoulli-Beta model）

dynamic Poisson-Gamma model

这个 model 一般假定观测到的 click 数目 来自一个 Poisson 分布，其参数是 。而这个 是一个 Gamma 分布，对应 ，而之后给定了 的后验分布（设参数为 ）之后， 仍然是一个 Gamma 分布，且对应的先验是参数为 的分布。

这个时候我们给出的每个时刻的 CTR 估计可以认为是每个 的后验 mode/mean 之类的，这比起某些情况来说增加了遗忘因子 。这个模型感觉也是 EM 来 training 的。

这两天把这些东西梳理一下，虽然是一些基本的模型，也大致清楚推导的方式，但是没自己推过，终究不知道一些细节。

——————-
Peradventure there be fifty righteous within the city: will you also destroy and not spare the place for the fifty righteous that are therein?

这部分讨论关于多准则推荐系统（MCRS，multi-criteria RS）。

MCRS 的讨论是延续 Bernhard Roy 提出的四步：

• define the object of decision：确定候选集以及推荐的理由
• defining a consistent family of criteria，即一致的评价标准，一致指涵盖以上各种理由并且互不矛盾的最小评价标准集合
• developing a global preference model，将以上准则能够合成为一个模型
• selection of the decision support process

其中推荐的理由一般称为 decision problematics，分为 choice（选择候选集中一个或者几个）、sorting（类别）、ranking（顺序）和 description（对每个标准所选候选者的达标程度）。对于所选的评价标准一般要求 monotonic（单调，谁好谁的评价值高）、exhaustive（相同的评价值对应等价物）、non-redudent（评价准则缺一不可）。评价函数有四类，measurable、ordinal、probabilistic 或者是 fuzzy。

所谓的 global preference model 可以有四种策略：

• value focused model，将各个 criteria 组合起来，不同的用户组合的方式不同
• multi-objective optimization models，这一般是寻找 Pareto optimal
• outranking relations model，两两比较 item，根据对应 criteria 的 preference 进行排序，然后在这个类似 DAG 的图里面找一些候选者
• preference disaggregation model，根据历史数据推导出偏好

常见的 MCDM 有 multi-attribute content preference modelling、multi-attribute content search and filtering 以及 multi-criteria rating-based preference elicitation，最后一个比如举个例子是我们要求用户对镜头评分，但是分做工，光学性能，价格等分别评星级。这样我们原先的推荐是从 user x item 到一个 rating，现在是到一个 rating vector。我们剩下的部分就讨论这种情况下如何做推荐。一般这种情况下还存在一个所谓 overall rating，这个反应用户对这个 item 整体的偏好程度，因此，通过其他的 aspect 我们可以看出两个不同的 user 很可能给出的 overall rating 相当，但是每个 aspect 上却各不一样。一般有两种使用这种 multi-criteria 的时候，一个在训练阶段，一个在 inference 阶段。

训练阶段，比如最近邻方法的修正我们可以很容易从一维扩展到高维，这样就把原先的算法弄到现在的情况了。同时对高维，我们可以使用一些别的距离，如 Manhattan distance， 距离等。另一种就是认为我们的 overall rating 是其他的 rating 的函数，我们的任务就是为这个建立模型，简单的可以直接用 linear regression/GBDT，复杂的也可以用一些 probabilistic model。另外矩阵分解的策略也可以推广到这个情况（不知道是不是和 NMF 推广到 NTF 类似，但是现在是 sparse 矩阵了）。

推断阶段要看 model 是否推断了 overall rating，如果有直接就可以使用这个值，否则我们可以能需要类似前面的一些做法，将 multi-critera 的 rating 转换成为一个序关系，如 Pareto optimal、线性组合等。

——————
And the LORD said, Because the cry of Sodom and Gomorrah is great, and because their sin is very grievous;