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几何光学一般认为光的波长 $\lambda \to 0$ ，这样就不会发生衍射（diffraction）现象，这样光行进的路线总是直线。但是事实上光也是波，通过孔径与波长相当的空间时就会发生衍射。

另外一个有用的物理现象是折射（refraction），物理里面有个叫斯涅耳定律（Snell’s law）可以定量的描述光通过两个折射率不同的介质时发生偏转的程度。

要理解 Snell’s law 可以用 wavefront 来进行分析，在进入另外个介质后光的波长从 $\lambda / n_1$ 变成 $\lambda / n_2$ ，这束光如果保持波前不变（假定和介质表面相交宽度为 $L$ ），那么两侧为了保证同步，左侧在介质 2 中多走了 $L \sin \theta_2$ ，而右侧在介质 1 中多走了 $L \sin \theta_1$ 花费的时间应该是一致的，这也就是说 $\frac{L \sin \theta_2}{c/n_2} = \frac{L \sin \theta_1}{c/n_1}$ ，也就得到了以上定律。

理解了 refractive indices 之后，我们可以用其解释某些现象。比如海市蜃楼：低空空气受热变得更加稀薄，使得折射率下降，相对来说高空的折射率会较大。人本来只能看到所处高度对地球做的切线以内的东西，但是更远处的物体发出的光（本来应该偏离地面）被这种密度不均匀的空气折射（甚至是全反射）沿着地球表面绕过了地平线进入观测者的眼睛，形成了一种奇妙的光学景观。

有了这个知识，我们可以推导什么样的曲面能够让平行光线汇聚，答案很简单双曲线，但是为什么？mm 的解释如下：假定平行光线从 $x = 0$ 出发向正无穷方向行径（处于透镜介质里面），碰到我们的镜面曲线 $(x, y)$ 后折向 $(D, 0)$ 这点，这里一个 trick 也是使用 wavefront 理论，每束光到达焦点的光程一样，这意味着 $n_2 x + n_1\sqrt{y^2 + (D - x)^2}$ 为常数，这样我们将 $x$ 项移动后两边平方就得到了 $y^2 = (n^2 - 1)x^2 + \beta x + \gamma$ 这种形式的双曲线，其中 latex n$ 是透镜介质对空气的折射率。

实际镜头的制造却发现双曲面非常难以研磨，通常会以球面镜进行替代。高端的镜头（特别是广角）一般都含有非球面镜，这主要是因为球面镜并不能完全聚焦光线，存在所谓的“球差”（spherical aberration），某些情况下合理利用球差能够带来柔焦的效果，但是一般情况下球差都会使得成像质量下降，且不是需要保留的。球面镜这种近轴近似（paraxial approximation）是一种一阶近似。

近似主要利用了 $\theta \approx \sin \theta \approx \tan \theta$ 当 $\theta \approx 0$ 恶情况，这时 Snell’s law 写成 $ni = n' i'$ ，利用三角形外角与内角的关系就得到了以上关系。

这里我们令 $z \to \infty$ ，使得光线变成平行光线，这样就得到了这个透镜的“焦距” $f = (r n') / (n' - n)$ ，这里我们光线通过球面后一直在透镜内传播。我们往往制作透镜的时候在另一侧会研磨另外一个球面，这样我们可以类似的得到如下关系：

这里的 $s_o$ 是物距，而 $s_i$ 是像距。不知道是不是两边都用近似，然后加上 thin lens approximation 就能得到了？

这样我们就有 $\frac{1}{f} = (n_l - 1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ ，看来前片越凸起来，焦距越短，这也就解释了那种畸形的镜头是怎么回事了，呵呵。至此我们获得了初高中物理所讲薄透镜成像的公式。对拍照来说，一般情况下都是像距远小于物距，特别的，当拍 1:1 微距的时候要求两者为焦距的两倍。

常见把凹透镜的焦距即为负数，这样获得的是虚像。我们常将焦距（单位是长度）的倒数称为屈光度（diopter，单位是 $\mathrm{m}^{-1}$ ），这样一来我们常用的近视（myopia）眼镜的屈光度都是负值，而远视（hyperopia）使用的老花眼镜是正的。镜头叠加获得的效果是 $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ ，或者使用屈光度来写就是 $P = P_1 + P_2$ 。

我们可以这样理解常用的近摄滤镜（一般是一个凸透镜），增加了屈光度之后得到的镜头的等效焦距变短，这样最近对焦距离就会进一步变小。值得注意的是一般销售近摄滤镜一般只写 +n，其中常见的是 1、2、4，我们可以很容易计算对应的焦距。这个并不是放大倍数。

讨论景深（DoF，depth of field）之前我们有比较重新看一下 F number，这是焦距与通光孔径的比值，尽管看起来只要我们能将孔径不断的做大就能获得更小的 F number，但事实上由于 paraxial approximation 的影响，一般最多做到 0.5，这是折射率决定的。而现在我们能够买到的最大是 0.95。电影拍摄中为了得到较好的自然光效果（如 Kubrick 在 1975 年所拍摄的 Barry Lyndon），会花大量金钱购买大光圈镜头（如 Zeiss 50mm/0.7）。

这个推导跟原先我的推导似乎有一定的差别。似乎我原来理解的有点问题，这里就是把弥散圆（confusion circle）放在焦平面上，通过边缘光线获得的前后两个交点的距离在物体侧的深度。为什么这样做？因为可以取这个区域中任意一点，如果在焦平面上成像就是一点，而如果不在焦平面上，我们通过边缘光线就能获得成像光斑的大小，这个区域内的光斑尺寸不会大于 confusion circle，因此人还是认为成像清晰。

我们可以看出来前景深和后景深是不对称的（即一般说来 $D_1 \neq D_2$ ），Nikon 有两个镜头 105mm/2 DC 和 135mm/2 DC （二手还卖这么贵 ~><~）可以通过 DC 环调节前后景深的比例，不知道是怎么做到的，求真相！

一般说来 confusion circle 对 135 相机是 0.02mm，据此我们可以计算全景深 $D = D_1 + D_2 = \frac{2NCU^2 f^2}{f^4 - N^2C^2U^2}$ ，当弥散圆的共轭相对光圈较小的时候（非微距拍摄情况），我们也有近似 $D \approx \frac{2NCU^2}{f^2}$ ，这说明景深（DoF）基本上正比于 F number，摄距的平方，反比于焦距的平方。

有点需要注意的是微距镜头比其他镜头更需要矫正近摄距情况下的 aberration，使用 extension tube（近摄接环）尽管能够为一般的镜头提供微距拍摄效果，但是这些镜头由于在更近的拍摄下 aberration 较高，仍然是比不过专业的微距镜头的成像的。一般说来近摄接环和焦距较短的镜头配合较好，而近摄滤镜往往与焦距较长的镜头配合。

根据后景深的公式，我们知道如果 $U \geq \frac{f^2}{NC}$ 时就会趋于无穷，这就是所谓的超焦距，特别是广角镜头，由于焦距小，这会导致这个下界并不大（几米？），这样拍很多照片时，我们只要保证拍摄物体足够远，开到某个 F number 后，可以不需要对焦就能拍了。比如 Sigma 24mm/1.8 在最大光圈下这个距离是 16m，但是如果将其收缩到 8，那只要 3.6m 开外的都可以直接按快门了。又比如说 Sigma 10-20mm/4-5.6，如果我们用最广的 10mm，就算全开光圈，只要 1.25m 开外的都会清晰。啊… 我是不是应该为我手头镜头都算算… hmm 可能这个 confusion circle 对 APS-C 画幅还不大一样，Mark 同志给的是全幅的值吧？

事实上，DoF 与感光元件尺寸是反比关系的，这是因为缩小感光元件后，为了维持相同的视角，焦距就会随着线性的减少，而另一方面 confusion circle 也是线性减少，消掉之后剩下焦距带来的反比关系。

最后我们讨论一下 Dolly zoom 的手法：首先我们为了维持物体大小不变，其实是在摄距变化时保证视角，这个我们需要在摄距变化时，通过焦距的增大来弥补，经过分析可以发现两者是线性关系。不过根据景深公式比较奇特的一点是，景深在做 dolly zome 时是不变的。嗯，大光圈还能让我们绕开遮挡物！

从逻辑上来说就是障碍物仅仅遮住了部分的光线。

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Haste you, escape thither; for I cannot do anything till you be come thither. Therefore the name of the city was called Zoar.

Written by zt

2012/05/20 at 5:35 PM

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运动方程的积分

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这里我们讨论两个问题，一个是单一粒子（质点）的运动问题，一个是双体（两个质点存在相互作用力下的运动）问题。后者可以转换成为前一个问题，并且我们讨论一下其中的特例，也就是 Kepler 问题（在万有引力下的运动）。这个理论可以很漂亮的解释，为什么即便是引力场，两个星星一般不会碰到一起，电子也不会很容易飞到原子核上面去。

单一质点运动我们有它的 Lagrianian，存在外部场的情况下，我们知道根据对时间的 homogeneity 可以得到能量守恒，也就是

$E = \dfrac{1}{2} m \dot{x}^2 + U(x)$

这是一个一阶微分方程，其解为

$\displaystyle t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{\mathrm{d} x}{ \sqrt{E - U(x)}} + \mathrm{const}$

当然，我们也可以直接利用 Euler-Lagrange 方程，但那个导出的是二阶微分方程，求解稍微复杂一些。该方程的解只存在两种情形，一种是势能小于总能量的区域是有限的，这是质点就在这个 potential well （势能井，因为画出来的势能图，这个区域均小于总能量，看起来和井一样）中振动；另一种情况是该区域是无限的，质点会运动到势能不断减少而动能不断增大的无穷远处。这个方程在封闭区域中揭示了振动时间对能量 $E$ 的函数关系，我们也假定 $U(x)$ 是已知的。为了强调这一点，我们写做

$\displaystyle T(E) = \sqrt{2m} \int_{x_1}^{x_2} \frac{\mathrm{d} x}{ \sqrt{E - U(x)}}$

这里写成两倍，是因为周期包含了一个来回（ $x_1 \to x_2 \to x_1$ ），而根据这种情况时间的 reversibility 我们知道反向的过程和正向的对称。

这个问题的反问题是，如果我们知道了运动周期 $T(E)$ ，是否能够求出未知的 $U(x)$ 或者其逆函数 $x(U)$ 。我们求解一个简单的版本，即势能存在一个谷，这时 $x(U)$ 能被写成两个函数 $x_1(U)$ 与 $x_2(U)$ ，我们令 $U = 0$ 为势能最低处且 $x_1(0) = x_2(0) = 0$ 作为原点。我们通过变量代换将以上方程的被积变量从 $x$ 换成 $x_1, x_2$ 两部分的积分并根据逆函数的性质换成 $U$ 作为被积变量，这样有

$\displaystyle T(E) = \sqrt{2m} \int_0^E \left( \frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm{d} U} - \frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} U}\right) \frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{E - U}}$

这其实是一个数学变换的技巧，我感觉，后面在两边同时除以 $\sqrt{\alpha - E}$ 并对 $E$ 进行积分

$\displaystyle \int_0^\alpha \frac{T(E) \mathrm{d} E}{\sqrt{\alpha - E}} = \sqrt{2m} \int_0^\alpha \int_0^E \left( \frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm{d} U} - \frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} U}\right) \frac{\mathrm{d} U \mathrm{d} E}{\sqrt{(E - U)(\alpha - E)}}$

交换右侧关于 $U$ 和 $E$ 的积分顺序，我们有

$\displaystyle \int_0^\alpha \frac{T(E) \mathrm{d} E}{\sqrt{\alpha - E}} = \sqrt{2m} \int_0^\alpha \left( \frac{\mathrm{d} x_2}{\mathrm{d} U} - \frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} U}\right) \,\mathrm{d} U\int_U^\alpha \frac{\mathrm{d} E}{\sqrt{(E - U)(\alpha - E)}}$

这样，关于 $E$ 的积分是常数 $\pi$ ，这样就化简得到

$\displaystyle \int_0^\alpha \frac{T(E) \mathrm{d} E}{\sqrt{\alpha - E}} = \pi\sqrt{2m} \big( x_2(U) - x_1(U) \big)\big|_{U = 0}^\alpha = \pi\sqrt{2m} \big( x_2(\alpha) - x_1(\alpha) \big)$

令 $\alpha = U$ 我们就获得了 $x$ 与 $U$ 的关系：

$\displaystyle x_2(U) - x_1(U) = \frac{1}{\pi \sqrt{2m}} \int_0^U \frac{T(E)\, \mathrm{d} E}{\sqrt{U - E}}$

如果我们进一步假定 $x_2(\cdot) = -x_1(\cdot)$ ，我们就获得了 $x(U)$ 曲线，而不是上面不确定的解。

为了研究双体运动，我们需要做一个简单的变换，即选择系统的质心作为原点，即 $x = m_1 x_1 + m_2 x_2 = 0$ ，令 $x = x_1 - x_2$ ，我们代入原系统的 Lagrangian 有 $L = \frac{1}{2} m \| \dot{x} \|^2 - U(\|x \|)$ ，其中 $m = m_1 m_2 / (m_1 + m_2)$ 称为 reduced mass。这表示我们等价于考虑一个质量为 $m$ 的质点在中心场（势能为 $U(\| x \|)$ ，中心固定在原点）中运动的情况。这样前面的方程就可以应用到现在的问题中了。

为了更方便的分析，我们使用极坐标而不是 Cartesian 坐标系。容易写出此时的 Lagrangian，

$\displaystyle L = \frac{1}{2} m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) - U(r)$

容易发现 $\phi$ 并没有出现在势能中，这意味着角动量守恒（因为 $\phi$ 是 cyclic，根据 Euler-Lagrange 方程可以得到此结论）。此时 $M = M_z = mr^2 \dot \phi = \mathrm{const}$ 。一般说来，存在守恒量都会极大的简化微分方程组的求解。这里我们可以获得所谓的 Kepler’s second law，即星球单位时间内扫过的面积为常数，这是因为此面积微元为 $\frac{1}{2} r^2\mathrm{d} \phi$ ，对时间的导数 $\dot{f} = \frac{M}{2m} = \frac{1}{2} r^2 \dot \phi$ 为常数。

我们应用前面的积分并使用角动量守恒替换掉 $\dot{\phi}$ ，就可以获得

$\displaystyle t = \int \frac{\mathrm{d} r}{\sqrt{\frac{2}{m} [E - U(r)] - \frac{M^2}{m r^2}}} + \mathrm{const}$

同时由于 $\mathrm{d} t = \frac{m\|r\|^2}{M} \mathrm{d}\phi$ ，我们也可以获得

$\displaystyle \phi = \int \frac{M \mathrm{d} r}{\|r\|^2 \sqrt{2m [E - U(r)] - M^2 / r^2}} + \mathrm{const}$

与前面的积分结果进行比较，我们可以引入所谓的等效势（effective potential），

$U_\text{eff}(r) = U(r) + \dfrac{M^2}{2mr^2}$

后面这一项通常称为离心能（centrfugal energy），注意它是一个 $1 / r^2$ 的势函数，且恒为正，对应一个斥力场，这意味着接近原点时，如果 $U(r)$ 产生的引力场不能够抵消离心能的增长的话，质点就不会进入原点。我们知道万有引力和库伦电场都是 $1/r$ 型的势能，因此文首所说的事实得到了论证。同时，我们也可以看出，只有引力场是 $1/r^\alpha$ 当 $\alpha > 2$ 或者 $\alpha = 2, \lim_{r\to 0+} r^2 U(r) < -M^2 / 2m$ 时才会出现坍缩。

下面我们来讨论几种非坍缩下可能的运动状态。此时势能与离心能之和如果最大（与总能量相等），则 $\dot{r} = 0$ ，此时质点将不会继续远离或者靠近原点（所谓的转折点）。如果仅仅存在 $r \geq r_{\min}$ ，质点将从无穷远来，向无穷远去；但若存在上界 $r_{\max} \geq r \geq r_{\min}$ ，则质点将在圆环中运动，根据上面计算的 $\phi$ 随 $r$ 的变化我们知道从 $r_{\max}$ 减少到 $r_{\min}$ 并再次增长到 $r_{\max}$ 过程 $\phi$ 的变化为

$\Delta \phi = 2\int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{M \mathrm{d} r / r^2}{\sqrt{2m[E - U(r)] - M^2/r^2}}$

因此只有当 $\Delta \phi = 2\pi \frac{m}{n}$ ，其中 $m, n$ 均为整数时会产生周期性行为，也就是说轨道是封闭的（称为 space oscillator），而一般情况下均不会产生闭合的路径。事实上，也仅仅当势函数为 $1/r$ 与 $r^2$ 型时才存在闭合的运动路径。

下面我们讨论 $1/r$ 型势能（重力势能与 Coulomb electrostatic interaction）。首先考虑引力场情形：

$\displaystyle U_\text{eff} = - \frac{\alpha}{r} + \frac{M^2}{2mr^2}$

容易做出此时有效势能的曲线，并能方便的计算出势能的极值。如果总能量大于等于零，很明显质点将向无穷远运动，而如果小于零，则在势能井表示的区间内运动。这时，我们将 $U$ 代入后可解出以下结果（选取近地点 perihelion 为 $\phi = 0$ ）：

$p/r = 1 + e \cos \phi, \quad p = M^2 / m\alpha, e = \sqrt{1 + (2EM^2 / m\alpha^2)}$

这里的 $p$ 称为 latus rectum，从焦点出发垂直于长轴到圆锥曲线的距离， $e$ 称为偏心率（eccentricity）。如果能量 $E$ 小于 0，则偏心率小于 1，成为椭圆方程，通过解析几何不难算的长短轴分别为

$\displaystyle a = \frac{\alpha}{2 |E|}, \quad b = \frac{M}{\sqrt{2m|E|}}$

而若能量取有效势能的极小值，这时 $r$ 不变，偏心率为 0，为匀速圆周运动。这种运动情况下周期为 $T = \pi \alpha \sqrt{m / 2|E|^3}$ 。对于 $E = 0, e = 1$ 的情况，我们不难计算出 $e > 1$ 即为抛物线，且 $r_{\min} = p/2$ 。而如果 $E > 0$ ，此时 $e > 1$ ，则为双曲线 $r_{\min} = p/(e + 1) = a(e – 1), a = p/(e^2 – 1) = \alpha / 2E$。