PGM 读书笔记节选(八)

前面的近似策略是寻找了 energy functional 的近似,该近似导致了 LBP,这使得 message passing 的算法不变。近似使用 I-projection,尽管这个一般说来并不容易得到解,但是给出了 partition function 的下界。这部分我们讨论的第一个策略是尽量保持目标函数不变,而在更新的时候使用近似的消息。

这个想法来自这样一个观察:如果我们用消息的 M-projection,比如离散变量情形,如果假定了近似分布是 factorized,我们根据前面的结论就知道这相当于要求在这些 margin 上近似分布与 message 相同。咋一看 M-projection 似乎使我们得到了更好的算法(因为有解析解了),但是问题是我们在原分布上做 inference,这些边际分布往往是 intractable 或者未知的。但是这里的 trick 就是如何 decompose 原来的 graph,如果我们得到的两个子图仍然具有比较复杂的结构,那么计算 message 就会比较麻烦(因为需要 marginalize 掉一些变量),但是如果我们让这些子图都是简洁的 tree 这种,我们可以直接用 BP 就能快捷的计算出来需要的 margin 了,这意味着这时的近似消息成为了可能!这样我们的基本思路就是沿用 LBP 的框架,将消息替换成为 M-projection 获得的简化版本。

对 message passing 的另一种参数化,即 belief update 而言,对精确的情形我们有 \delta_{i\to j} = \frac{\sum_{C_i - S_{i, j}} \beta_i}{\delta_{j \to i}},我们前面的想法等价于寻求这个比值的 M-projection。另一种思路是我们寻求 \beta_i 的 M-projection,记为 \tilde{\sigma}_{i\to j},然后用 \tilde{\delta}_{i\to j} \gets \frac{\tilde{\sigma}_{i\to j}}{\tilde{\delta}_{j \to i}},这个方法有一个奇怪的特点是 i\to j 的消息依赖了 j\to i 的消息,这是近似上的一种 tradeoff,能让近似更关注“更相关”的区域。这导致了一类所谓 expectation propagation 的算法(EP)。这是对 belief update 的修改,此时不仅仅保存一份 \mu_{i, j} 而是两个方向都有保存。

为了能够方便的计算我们的 approximate message,我们将候选的近似分布选择为指数族,事实上指数族的 M-projection 导致了 moment matching 这个要求:以上方法我们首先需要为 belief 获得近似,通过指数族的 sufficient statistics 上的 matching(如果我们能能算,否则 EP 就不能用,如 MRF),我们就可以得到 \tilde{\sigma}_{i\to j} \propto \exp (\langle \theta_{\tilde{\sigma}_{i\to j}}, \tau_{i, j} (s_{i, j})\rangle),另一方面我们因为 message 也是 exponential family,我们有

\displaystyle \tilde{\delta}_{i\to j} = \frac{\tilde{\sigma}_{i\to j}}{\tilde{\delta}_{j\to i}} \propto \exp \left(\langle \theta_{\tilde{\sigma}_{i\to j}} - \theta_{\tilde{\delta}_{j\to i}}, \tau_{i, j} (s_{i, j})\rangle\right)

EP 有一个问题是对 BN 很多时候可以获得合适的 M-projection,但是更新的策略却往往无视了参数空间的约束,这导致 EP 迭代中可能获得非法参数,某些问题中这可能导致严重的后果。

那么 EP 对应于一个什么样的优化问题呢?从某个角度我们很容易发现,那就是以上更新公式将参数放在一起

\text{M-project }_{i, j} \mathbb{E}_{S_{i, j}} \tau_{i, j} = \theta_{\tilde{\delta}_{i \to j}} + \theta_{\tilde{\delta}_{j \to i}}

这等价于要求两侧的矩 matching,而不是原先的分布是 consistency 的:

\mathbb{E}_{S_{i, j}\sim \mu_{i, j}} \tau_{i, j} = \mathbb{E}_{S_{i, j} \sim \beta_j} \tau_{i, j}

而与前者一样使用的都是近似的 energy functional。我们对这个问题使用 Lagrange multiplier 就可以证明,EP 的消息传递等价于对应的 fixed point equation 的迭代。

正是由于这个方法使用了近似的消息,我们无法保证其收敛性,这也是它与后一种方法(structured variational approximation)的重要区别。这里我们将近似函数族选的足够的简单,使得上面的 inference 非常容易,常见的选择就是让这个部分 factorized 足够厉害,当然这表示近似分布的表述力也会比较有限,然而我们得以可以优化精确的 free energy(也是 I-projection)。

那么这种想法最极端的形式(mean field approximation)就是将近似分布选择为完全独立的情况,此时自由能中 factor 部分成为 \mathbb{E}_{U_\phi\sim Q} \log \phi = \sum_{u_\phi} \left( \prod_{X_i \in U_\phi} Q(x_i)\right) \log \phi(u_\phi),对应的熵部分可以完全解耦。此时我们写出来的 Lagrange multiplier 然后类似写出 fixed point equation 得到如下的解

\displaystyle Q(x_i) = \frac{1}{Z_i} \exp\left( \sum_{\phi\in\Phi} \mathbb{E}_{\mathcal{X} \sim Q} [\log \phi \mid x_i]\right)

这导致了很简洁的更新方式,每次固定其他的更新某一个 Q_i,这等价于 coordinate ascent,因此我们可以证明这个方法不仅收敛,而且收敛于某个 stationary point。这是比 EP 更优越的分析性质。

完全独立便于推导,但是其表述能力比较有限,比较自然的想法就是 decompose 的时候不要那么彻底,而是保留些结构(与 EP 在这方面的想法类似)。这时,我们假定有一个我们设定的分解记为 \psi_j,这时候的形式比单变量稍微繁复一些:

\psi_j (c_j) \propto \exp\left( \mathbb{E}_Q [\log \tilde{P}_\Phi \mid c_j] - \sum_{k \neq j} \mathbb{E}_Q [\log \psi_k \mid c_j]\right)

同样我们可以获得类似的算法和证明收敛性。另外有一些关于简化 MRF 分解的东西后面再仔细看看吧。

另外一种策略是使用 local variational bound。这就是为我们 maximize 的 objective function 找到合理的下界,这样我们通过 optimize 一个更简单的目标函数得以最大化目标函数的下界。常用的 lower bound 就是通过凸函数的 Legendre-Finchel 变换后获得的界(往往是在 local 区域逼近较好)进行优化(调整 variational parameters)。

最后想谈一下与 PRML 在这方面的比较。读书笔记节选的七和八对应于 PRML 中第八章和第十章,很显然 PRML 对 exact inference 讲的比较详细,更侧重于“过程”,PGM 这部分更偏重理论;对于 LBP,PRML 仅仅一带而过。PGM 将几种近似的策略从优化的角度完美的统一了起来,进行了细致的区分,每种算法都可以用 stationary point 处满足的 fixed point equation 获得迭代的算法,这的确是比 PRML 上通过一些具体例子讲的更加理论和清晰。总体感觉来说 PRML 将几种解决问题的思路与一些具体的例子(特别是 machine learning 里面常见的例子)结合的比较清楚,特别是一些连续变量的情形,这方面我觉得需要在看完 PGM 后重新认识一下,推导一下。

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And Abimelech took sheep, and oxen, and menservants, and womenservants, and gave them to Abraham, and restored him Sarah his wife.

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