悖论趣谈(二)

所谓的 Monty Hall problem/paradox 其实并不是一个“悖论”,这个想来知道答案的人也很多了。问题如下

有三扇门,门后面可能是车也可能是羊,你的目标是猜中哪扇门后面是车,但是只有一扇门后面是车。你选择了某扇门后,答案不会立即揭晓,主持人这时候会打开你没选中的一扇门,里面是羊问你你是否会更改你的选择,你换还是不换?

Monty Hall paradox

这个题目等价于,先验而言,你选中车的概率是 1/3,而选中羊的概率是 2/3。在前面一种情况下,主持人无论开哪扇门,肯定是羊,在此条件下换门选中车的概率是 0。在后面一种情况下,因为一车一羊,主持人告诉你其一是羊等价于告诉你另外一个就是车了,这时改变选择选中概率是 1。这样看来改变选择的成功概率是 2/3。

有人总会 argue 说主持人知道你选的是不是车,所以如果他尽可能的对你使坏诱使你,所以改变选择就中了套了,事实上并非如此。尽管我们的对手知道答案,但是我们的选择如果是随机的,而主持人必须走完以上流程,即揭示给你一扇门后面没有车,那以上推导就是正确的。

这个看起来和直觉上认为去掉一个不是羊的,剩下两扇门选一扇成功的概率是 1/2 是不一致的。因为后者没有考虑到打开的这扇门是 condition 在先前的选择上的。也就是说随机的选择让你有机会排除掉一个不是车的门,而且这个概率比排除车大。

更详细的讨论见 wikipedia

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And he dwelled in the wilderness of Paran: and his mother took him a wife out of the land of Egypt.

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