代数结构

这篇 wikipedia 讲得还是很清楚的,当年学数学的时候怎么就没这种资料好生的建立起一些宏观的概念呢?

这里列一些正在用和常见的代数结构。

简单结构(无两元算子)

  • set 集合,就这个东西就能写本集合论之类的书了
  • pointed set,也是集合,但其中存在一些特殊的元素,比如定义自然数集合需要 0 和 1,这就是一个 pointed set
  • unary set,包括一个一元运算的集合,比如 boolean 与非运算
  • pointed unary set,整数集合与取相反数这个运算

类似群的结构(一个两元算子)

  • magma/groupoid:集合与二元运算,仅要求二元运算具有 closure
  • semi-group,所谓“半群”指具有结合律的 magma
  • monoid 指具有单位元(幺元)的半群
  • group 群指可取逆的 monoid
  • Abelian group 阿贝尔群是具有交换律(commutative)的群
  • semilattice 半格,二元运算不仅仅具有交换律还是幂等(idempotent)的
  • quasi-group 拟群(其实已经不算是 group-like 了),具有“除法”的半群

这里提一句 monad 这个概念可以看出它拥有closure、结合率、幺元因此是 monoid 的特殊情况,换言之是定义在 endofunctor 上的 monoid

类似环的结构(两个两元算子)

通常这两个运算会和 + 和 * 比较,与 groupoid 类似,ringoid 指在这两个运算下闭包的结构。

  • semi-ring 半环,要求在两个运算下都是 monoid,其中一个(加法)要求具有交换律,(加法)单位元(0)对另一个运算(乘法)满足 0x = x0 = 0,(乘法)另一个运算对前者满足左右分配率(distributive law)
  • near ring,去掉半环中加法的交换律
  • ring 环是加法下为 Abelian group 的 semi-ring,也就是增加了可逆性
  • Lie ring 李环是 ringnoid,要求加法下为 Abelian group,乘法满足 Jacobi identity
  • boolean ring 是一个交换环,且乘法幂等
  • field 域是一个环,且乘法除去加法零元外具有可逆元
  • Kleene algebra(研究 regular expression 的人应该比较熟悉这个)除去它本身是加法幂等的半环以外,另外有 Kleene star 这个一元操作
  • *-algebra 是具有 * 这个一元操作的环

注意这里出现了 algebra,一般 algebra 定义在 field 上,可以看成是 field 上的线性空间(linear algebra 就是研究实数域上的 algebra,其实也有复数域的,对应辛几何什么的)。但是这个 algebra 的概念可以扩展到一般的环上。

类似格的结构(两个或更多的二元算子)

这种结构里面引入了 meet/join 运算,实际上是对偏序集取 supremum 和 infimum,但因为是偏序关系这两个运算不是一定能获得值的。在格结构里面,一般要求这两个操作满足 absorption law(吸收律)。

  • lattice 是 join semi-lattice 且 meet semi-lattice,* semi-lattice 就是指 semi-lattice 在该操作下任意一个 pair 都存在结果
  • complete lattice,是个 lattice 但更强的是任意集合上都存在 supremum 和 infimum
  • complemented lattice 带补操作的 lattice
  • modular lattice 满足 modular identity,特例之一是 distributive lattice,如果加上 complement 就是 boolean lattice 了

算术

无限集合上定义了加法和乘法的结构,如 Robinson arithmetics 和 Peano arithmetics,似乎用得比较多的是后者。

——————
And Jacob did separate the lambs, and set the faces of the flocks toward the ringstraked, and all the brown in the flock of Laban; and he put his own flocks by themselves, and put them not unto Laban’s cattle.

Advertisements
代数结构

发表评论

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 更改 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 更改 )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 更改 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 更改 )

Connecting to %s