线性电路(2)

Ohm’s law 表述的是电压、电流和电阻的关系 v = iR,通常将电阻(resistance)的倒数称为电导(conductance)。单位前者为 Ohm(欧姆),后者为 Siemens(西门子?)。电阻正比于材料长度,反比于横截面积,通常可以用 R = \frac{\rho L}{A},其中 \rho 为电阻率(resistivity)。

Kirchoff Voltage Law(基尔霍夫电压定律):围绕闭合电路行走一圈电压变化的和为 0:

\displaystyle \sum u_k = 0

Kirchoff Current Law(基尔霍夫电流定律):流入一个节点的电流之和为 0:

\displaystyle \sum i_k = 0

如果对图论比较熟悉,很容易发现,电路图实际上是某种图的表示,我们将联通导线看成节点,而将导线连接的原件看成是(有向)边,如果将通过原件的电流或者电压看成是边的某种属性,Kirchoff 两个定律可以表示成为:沿无向图任意一个圈行走,每条边上的电压和为 0;在电流方向标定的有向图里,每个节点流入电流与流出的电流相等。

根据 Kirchoff 两个定律很容易得出两个推论:

  • 串行电路电流相等
  • 并行电路两端电压相等

结合 Ohm’s law 我们可以计算出并行电阻和串行电阻获得的等小电阻大小。这样串行电阻获得了电压分担效果,而并联电阻获得了电流分担效果。并联时使用电导进行计算可以避免复杂的倒数关系。

电阻的颜色标记:

  • 前两个 band 表示最显著的两位数
  • 第三个 band 表示 10 的几次方
  • 第四个 band 表示 tolerance(银色或者金色分别表示误差为 10% 或者 5%)
  • 颜色表示的数字为:黑色 0,棕色 1,红色 2,橙色 3,黄色 4,绿色 5,紫色 6,蓝色 7,cyan 8,白色 9

一般做实验或者原型不乐意把电路弄死,会使用 protoboard 或者称为 breadboard 的板子,上面一般五个孔一组,方便连接不同的原件。

这个 course era 课程之所以称为线性电路,是因为它只介绍了电阻、电容、线圈这类线性原件,实际操作中半导体原件产生的非线性响应才适合我们更加常见的问题。这部分算是基础课程。linearity 包括两个性质:

  • superposition(相加性):f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)
  • homogeneity(齐次性):f(K x) = K f(x)

很显然 Ohm’s law 满足这两个性质。利用线性系统的 superposition 性质,一种分析的思路是:

  • 去掉电源(电压源换为导线,电流源换为 open circuit)
  • 一个一个电源加入到线路中,算出每一个电源单独产生的效应
  • 将这些效应累加起来

如果是 dependent source 如果他们也是 linear 的话还是可以借助类似的方法分析,只是他们必须留在电路中。系统的分析电路有三类方法:

  • mesh analysis:将通过每个元件的电流列举出来(选择独立的 loop),使用 KVL 建立方程组求解
  • node analysis:将每个节点的电压列举出来(首先选地线,即 0V node),使用 KCL 建立方程组求解
  • Thevenin and Norton Equivalent Circuits:这更倾向于一些手工分析。Thevenin equivalent 将电路替换成为一个电源和一个串联电阻,等效的目的是当我们在两端接入一个负载电阻时,我们根据等效电路计算就能获得负载电阻上的电流、电压,做的时候比如电阻的获得是去掉独立电源。Norton equivalent 使用的是并联电阻。

一个重要 Thevenin equivalent 的应用是分析一个系统负载什么时候能获得最大的功率,根据 Ohm 定律和功率与电压、电流的关系,我们能很容易计算出来当负载电阻和 R_\text{Th} 相等时获得的功率最大。这个结论可以很容易应用在购买 receiver 和 speaker 的问题上,一般 receiver 和 speaker 都会标注其电阻,如前段时间购买的 Yamaha RX-V377 内阻为 8 欧姆,而选择的 5.1 音响 Polk Audio RH6750 正好也是 8 欧姆,这样能够最大程度的利用 receiver 的输出功率驱动音响。

另一个常在高中初中物理竞赛书上看见的技巧是 Wye-Delta transformation,也被记为 \text{Y-}\Delta transformation,它把星型电路(R_i, i = 1,2,3)转换到一个三角形电路(R_i, i = a,b,c),对应的电阻有如下关系

R_i = \displaystyle\frac{R_1R_2 + R_2R_3 + R_3R_1}{R_{j(i)}}, i = a,b,c; j(i) = 1,2,3

逆向变换关系为

R_i = \displaystyle \frac{R_{j(i)} R_{k(i)}}{R_a + R_b + R_c}, i = 1,2,3, j(i) = b, c, a, k(i) = c,a,b

这种变换的目的是将那些不在并联或者串联情况下的电阻转换到我们熟悉的状态从而可以计算等效电阻,据说在三相交流电里面这类电路经常出现。

Wheatstone bridge 是用来测量电阻的一种电路,待测电阻与可调电阻串联,另一条已知电阻 R_1 与另一个可调电阻串联,之后两条线路并联,我们在中间使用电流计形成一个 bridge,当电流为 0 时可以根据可调电阻大小和 R_1 计算出来待测电阻的大小。使用 bridge 的原因是往往电压或者电流的测量是不精确的,只有通过相减去除掉基准值,获得的才比较精确。

一些常见的 sensor 包括:piezoelectric(压力感应,压力越大电阻越小),thermister(温度感应,温度越高电阻越小),strain gauge(拉伸导致电阻变化,拉伸电阻变大),potentiometer(位置,比如角度,位置,对应一些旋钮开关)。一种常见的应用就是将电阻与电源 hook 一起,根据读出来的电压来记录 sensor 的数据。

strain gauge 组成 Wheatstone bridge 可以测量物体弯曲程度和方向。

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The children of Dishan are these; Uz, and Aran

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