线性电路(4)

这部分主要学习 frequency analysis,也就是线性电路对正弦波之类电源的响应,实际操作中电源输入可以看成 DC 和 AC 两部分叠加产生的效果,我们之前的分析适用于 DC,在 AC 下,通常我们有一个固定频率的输入,我们希望分析通过线性电路获得的电流和电压,这部分的理论似乎课程没有讲清楚,而只介绍了对应的“算法”,这部分的理论基础应该是 Fourier transform 和 Laplace transform,不知道什么课程会更加详细细致的介绍这部分理论,肯定很有意思。这里我们就只试图了解一些直观上的东西。

根据之前电阻、电容和电感三者各自获得的电流、电压之间的关系我们不难看出在固定频率 AC 通过后我们获得的频率并不会发生改变,只是电容和电感会改变对应的相位,“因此”一个通过三者组成的复杂电路我们可以想象对应的频率仍然是不变的,对应的辐值和相位会发生一定的变化,“为了”描述这种变化我们可以引入复数。(注意这里其实是通过理论推导我们发现频率不变,以及很自然获得了复数表达,但是理论部分不懂 ~><~)

与此相关我们引入一个很重要的概念 impedance(阻抗),它是一个复数,表示的是 AC 通过一个电路部分导致电压和电流变化的关系 u = Z i,这里为了更好地表示电压和电流,我们也用一个复数 u = U\cos(\omega t + \theta) 的话我们 \omega 一般固定,所以 u = U\angle \theta = U\cos\theta +jU\sin \theta 表示对应的复数,对应的 i 也有复数表达,而阻抗表示的是电流与电压在辐值和相位上的关系。我们不难发现,组成电路的三个基本原件的阻抗分别是:

  • 电阻 R 的阻抗正好也是 R
  • 电容 C 的阻抗是 \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{\omega C} \angle -\frac{\pi}{2}
  • 电感 L 的阻抗是 j\omega L = \omega L \angle \frac{\pi}{2}

有意思的是计算一个电路的等效阻抗和我们计算电容、电感、电阻的等效值是完全一样的,只是现在我们代入的是对应的阻抗(复数)。

不难发现一个电路给定输入后它的输出部分可以看成是 \omega 的函数,我们将输入和输出之间存在这个关系 y = H(\omega) x 称为 transfer function,H(\omega) \in \mathbb{C},这个复值函数的辐值刻画了输入输出辐值之间的关系,而其相位表示了两者之间的相位差。如果我们将一个 RLC 电路的 transfer function 画出来,我们会发现在 underdamped 的情况下对应的 |H(\omega)| 并不是一个对应 \omega 的单调函数(其他电路如 RC、RL 或者 RLC 的 overdamped 情况很容易发现都是单调下降的),而让这个函数取极值的位置是所谓的共振频率 \frac{1}{LC},和电阻大小没有关系。通常我们会将频率取常用对数(10 为底),而 H(\omega) 辐值常用对数的 20 倍来作图,这个图通常被称为 Bode plot,前者单位 1 称为一个 decade,后者单位 1 称为一个 dB,在一阶系统上通常为 20 dB/decade,而二阶系统为 40dB/decade。

传递函数刻画了不同频率信号通过系统时衰减性质,这意味着我们可以为不同的需求设计不同的电路,对不同频段的信号进行增益或者衰减,这就是所谓“滤波”(filtering)的概念。从电容和电感的传递函数不难看出,电容对高频衰减比较厉害。那么当我们取一个 RC 电路电容部分的电压就能获得低通滤波(lowpass filter),而如果取电阻部分的电压就会获得高通滤波(highpass filter)。二阶电路更加有意思,如果取 RLC 电路的电容,我们依然会获得 lowpass filter 但是因为二阶衰减更加强烈所以获得的带宽更加窄。而如果取电感部分则获得 highpass filter。更加有意思的是 RLC 电路上电阻部分的电压,它是一个 bandpass filter(高低部分都被衰减),其中心在 \frac{1}{\sqrt{LC}} 而 passband 为 \frac{R}{L}。如果取电容和电感两者上的电压,这被称为 notch filter(高低都过,中间被衰减)。notch filter 常见用法就是去掉某个频段上的信号,比如交流电通常是 50Hz 或者 60Hz,为了避免他们对信号产生的干扰,我们可以为电路添加一个 notch filter 过滤掉这个频段的信号。

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And Joseph dreamed a dream, and he told it his brethren:and they hated him yet the more

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