线性电路(5)

这部分是关于功率的,当我们引入了复电压、电流之后,直流系统的功率定义就不再适用,我们可以对 u(t)i(t) 积分,但是计算就会变得复杂。为此我们引入复功率。

一般来说市电标称的电压值并不是交流电电压的辐值,而是其辐值的 \frac{1}{\sqrt{2}},理由很简单,这是通过积分获得的,在一个电阻上很容易获得一个周期内有效的功率为 \frac{U_m^2}{2R},这样如果我们使用 U_{\text{RMS}} = \frac{U_m}{\sqrt{2}},这时计算消耗的功率只需要用正常的 U^2/R 就行了。往往市电标称使用的都是这个有效电压。这意味着辐值往往要大不少。

如果我们计算电容或者电感对应的功率我们会发现他们的功率为零,通常这意味着他们不“立即”消耗能量,而是将能量存储起来,而对于一般的阻抗来说,功率的计算变得有一点不同,我们将对应 phasor 表达下的电压 u 和电流 i相乘除以二作为这个阻抗下的复功率 p = \frac{ui^\star}{2},其中 i^\star 是对复数求共轭。需要注意的是这个结果并不是 phasor。不难发现这个复功率的实部表示的是阻抗消耗的实际功率(real power)单位为 W,而虚部大小表示阻抗“存储的功率”(reactive power)为了区别单位使用 VAR,而这个复数的辐值称为 apparent power,对应 power 本身的辐值,单位为 VA。计算这个复数的角度称为 power angle(等于电压与电流的相位差),而对应的余弦值称为功率因子(power factor)。

通常居民用电情况下,对应的消耗主要在于内能(发热,比如供暖、照明、烹饪)。而工业用电更多的是接入电动机(电感),这会导致更多的 reactive power,这些能量虽然并不直接做工,但是对应产生他们需要对应的电流,这也意味着传送他们会导致更多的消耗,因此往往对民用用电收费仅仅按照 real power,而工业用电会对两者一起收费,只是 reactive power 收费要稍微低一些。这也使得工业用电用户需要减少自己的 reactive power。

之前我们在直流电谈论了一个 Thevenin equivalent 电路下配备什么样的电阻可以获得最大的功率,这个问题对于交流电路上的阻抗也存在类似的问题,其结果也惊人的相似,只是这次配备的阻抗 Z大小应该是等小阻抗 Z_\text{Th}的共轭,这是获得的功率为 \frac{V_\text{Th}^2}{8 \Re(Z_\text{Th})},这个极值下 reactive power 并不为零;如果配备的阻抗只能是电阻,不难发现电阻阻值应为 |Z_\text{Th}|,这个结论可以推广到任意指定 phase 的阻抗,只要两者辐值相等都成立。

为了增加一个系统的 power factor,我们可以并联一个 reactive 元件,它对电流相位的作用方向正好与带调整阻抗相反(RL 应配备一个电容,RC 应配备一个电感),这个结果往往只与交流电的频率相关,而与电压大小没有关系。

交流电里面最有意思的是变压器(transformer),通常为了获得最大程度的 power transfer 或者提高 power factor,我们都会使用 transformer。变压器工作原理是 Ampere’s Law (变化的电流产生磁场)和 Faraday’s Law of Induction(变化的磁通量产生电压),两个线圈通过铁介质连接,当 AC 通过其中一个线圈会在其中产生磁场穿过另一个线圈,由于交流电的变化导致铁介质中磁通量的变化,从而在另一个线圈中产生了电压。分析变压器常用 linear model of impedance 或者 ideal model(更多的对功率分析问题):

  • linear model 里面变压器两端的电路可以分别联立自己的方程,每个线圈都当做电感,而两个线圈之间的关系通过一个 mutual inductance 来表达,对应 impedance 为 j\omega M,这样相当于两边的方程组都增加了一项(方向一般相反),求解出来整个系统的等效 impedance 为系统自己的 impedance,变压器这边侧的电感,另外串联了一个多余项(reflected impedance)。
  • 在理想模型下,M = k\sqrt{L_1 L_2},理想模型下满足两个线圈的电压与线圈圈数的比相等,电流与线圈圈数的乘积相等。这样一来线圈圈数比例就能告诉我们变压器对电压的作用了。

很明显通过变压器升压可以节省长距离输电产生的内能。

Linear variable differential transformer(LVDT)原理和变压器类似,但是在铁介质另一侧接入了两个串联的反绕向线圈(绕数一样),如果源线圈与这两个线圈产生的 mutual inductance 相等,可以想象,两个线圈产生的电压正好抵消,但是如果我们移动铁介质,改变到两者的 mutual inductance,这时电压读数就不再是 0,一般来说读数的电压辐值反应了铁介质的位置,而相位表示了铁介质移动的方向。用来测量的 LVDT 可以给出非常精确的读数,同时通过屏蔽不容易受到外界干扰。

另一个有意思的东西是 Tesla coil,它利用高电压,低电流,高频率产生空气放电现象,最初 Tesla 狂人想利用它做无线输电。想法非常简单,primary coil 只有少数几圈,而 secondary coil 有很多圈,一端接地一段通过一个环形的金属圈放在空气中,一旦 primary coil 通过交流电,根据变压器的原理我们可知 secondary coil 产生巨大的电压,从而导致放电,空气本身可以看成是一种制作电容的介质,所以在 torus 和大地之间可以看成是一个电容,而这么高的电压可以导致空气被击穿。作为 primary coil 那侧,通常也配备电容,形成 LC 电路,LC 电路通常会产生震荡,这样导致另一侧不断放电,只要频率合适就会产生声响。youtube 上这种小项目挺多。贴个搞笑版的吧

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For, behold, we were binding sheaves in the field, and, lo, my sheaf arose, and also stood upright; and, behold, your sheaves stood round about, and made obeisance to my sheaf

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